Question

18．已知点F是抛物线x²=12y的焦点，点P是其上的动点，若$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，则点M的轨迹方程是x²=6y-9．

Answer 1

分析 根据题意算出抛物线的焦点为F（0，3），设M（x，y）、P的坐标为（t，$\frac{1}{12}$t²），由$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，建立关于x、y、t的方程组，再消去参数t即可得到动点M的轨迹方程．

解答 解：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（t，$\frac{1}{12}$t²）
∵抛物线y²=12y中，2p=12，可得p=6，
∴抛物线的焦点为F（0，3），
∴$\overrightarrow{FM}$=（x，y-3），$\overrightarrow{MP}$=（t-x，$\frac{1}{12}$t²-y），
又∵动点M满足$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MP}$，
∴（x，y-3）=（t-x，$\frac{1}{12}$t²-y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=t-x}\\{y-3=\frac{1}{12}{t}^{2}-y}\end{array}\right.$，消去参数t可得x²=6y-9，即为动点M的轨迹方程．
故答案为：x²=6y-9

点评 本题考查了求点的轨迹方程．着重考查了向量的坐标运算、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．