Question

6．如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．
（1）证明：BD⊥CH；
（2）若$AB=BD=2，AE=\sqrt{3}，CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
①求三棱锥F-BDC的体积．
②求二面角B-DF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由菱形性质得BD⊥AC，由面面垂直的性质得BD⊥面ACFE，由此能证明BD⊥CH．
（2）①由已知得∠GCF=120°，GF=3，由线面垂直得BD⊥GF，从而S_△BDF=3，由CH⊥BD，CH⊥GF，得CH⊥平面BDF，由V_F-BDC=V_C-BDF，利用等积法能求出三棱锥F-BDC的体积．
②求出C到DF的距离，即可求二面角B-DF-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
又∵面ACFE∩面ABCD=AC，BD?平面ABCD，面ABCD⊥面ACFE，
∴BD⊥面ACFE，
∵CH?面ACFE，∴BD⊥CH；
解：（2）①在△FCG中，$CG=CF=\sqrt{3}，CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，CH⊥GF$
∴∠GCF=120°，GF=3．
∵BD⊥面ACFE，GF?面ACFE，
∴BD⊥GF，
${S_{△BDF}}=\frac{1}{2}BD•GF=\frac{1}{2}×2×3=3$．
又∴CH⊥BD，CH⊥GF，
∴BD∩GF=G，BD，GF?平面BDF
∴CH⊥平面BDF
∴${V_{F-BDC}}={V_{C-BDF}}=\frac{1}{3}•{S_{△BDF}}•CH=\frac{1}{3}•3•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
②△CDF中，CD=2，CF=$\sqrt{3}$，DF=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠DCF=$\frac{4+3-10}{2×2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴sin∠DCF=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴S_△DCF=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，
设C到DF的距离为h，则$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，
∴h=$\frac{\sqrt{390}}{20}$，
设二面角B-DF-C的平面角为θ，则tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{390}}{20}}$=$\frac{\sqrt{130}}{13}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{299}}{23}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，二面角B-DF-C的平面角，考查学生分析解决问题的能力，是中档题，解题时要认真审题，注意线面、面面平行与垂直的性质的合理运用．