Question

11．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，AD⊥AB，侧棱PA⊥底面ABCD，且AD=DC=PA=$\frac{1}{2}$AB=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）设点M为PB中点，求四面体M-PAC的体积．

Answer 1

分析 （I）过C作CE⊥AB，垂足为E，则四边形ADCE是正方形．利用勾股定理求出AC，BC，得出AC⊥BC，由PA⊥平面ABCD得AP⊥BC，故而BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）以PAM为棱锥的底面，则CE为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（Ⅰ）过C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，
∴四边形ADCE是正方形．
∴BE=AE=CE=1．
∴$AC=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$．
∵AB=2，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AC?平面PAC，AP?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CE?平面ABCD，
∴PA⊥CE，
又∵CE⊥AB，AB?平面PAB，AP?平面PAB，PA∩AB=A，
∴CE⊥面PAB，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又M为PB中点，
∴S_△PAM=$\frac{1}{2}{S}_{△PAB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}PA•AB$=$\frac{1}{4}×1×2=\frac{1}{2}$，
∴V_M-PAC=V_C-PAM=$\frac{1}{3}{S}_{△PAM}•CE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．