Question

10．设A、B是焦点为F（1，0）的抛物线y²=2px（p＞0）上异于坐标原点的两点，若$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=0，则坐标原点O（0，0）到直线AB距离的最大值为4．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为x=my+b，代入抛物线方程消去x，求得y₁+y₁．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由•=x₁x₂+y₁y₂整理可得（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，求得b的值，再根据原点到直线AB的距离为判断当m=0时距离最大，进而求得答案．

解答 解：∵焦点为F（1，0）的抛物线y²=2px（p＞0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2，
即y²=4x，
设直线AB的方程为x=my+b，代入抛物线方程可得y²-4my-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mb（y₁+y₂）+b²=（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直线AB的方程为x=my+4，原点到直线AB的距离为d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
当m=0时，d_最大值=4．
故答案为：4．

点评 本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．