Question

19．设x₁，x₂，…，x₅的实数，求具有下述性质的最小正整数n：如果n个不同的、形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，则x₁=x₂=…=x₅=0．

Answer 1

分析 首先证明n≥7，取x₁=2，x₂=x₃=x₄=x₅=-1，则6个形如x₁+x_i+x_j（2≤i＜j≤5）的和都等于0，因此n≥7，
再设存在个不同的形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，问题得以解决．

解答 解：首先证明n≥7，取x₁=2，x₂=x₃=x₄=x₅=-1，则6个形如x₁+x_i+x_j（2≤i＜j≤5）的和都等于0，因此n≥7，
设存在个不同的形如x_p+x_q+x_r（1≤p＜q＜r≤5）的和都等于0，由于$\frac{7×3}{5}＞4$，故存在一个x_i，它在这7个和式中至少出现5次．
不失一般性，假定i=1．
由于$C_4^2=6$，于是在形如x₁+x_p+x_q（2≤p＜q≤5）的和式中，至多一个不为0，
假定在这个和式中，p=2，q=3，于是x₁+x₂+x₄=0，x₁+x₂+x₅=0，x₁+x₃+x₄=0，x₁+x₃+x₅=0，x₁+x₄+x₅=0，
由此易得${x_2}={x_3}={x_4}={x_5}=-\frac{x_1}{2}$．
由于形如（x₁，x_p，x_q）（2≤p＜q≤5）的三元组共6个，而7个和式等于0，
所以，一定存在i，j，k≥2满足x_i+x_j+x_k=0，因此x_i=x_j=x_k=0，即所有5个数都是0综上，n_min=7

点评 本题考查了数列以及实数的特征，关键是构造数列成立的条件，属于难题．