Question

4．设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，$|{BF}|=\frac{3}{2}$，则$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$=（　　）

• A． 1：4
• B． 1：5
• C． 1：7
• D． 1：6

Answer 1

分析 先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|=|BN|=x₂+1=$\frac{3}{2}$，
∴x₂=$\frac{1}{2}$，
把x₂=$\frac{1}{2}$代入抛物线y²=4x，得，y₂=-$\sqrt{2}$，
∴直线AB过点M（2，0）与（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）方程为y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-2），代入抛物线方程，解得，x₁=8，
∴|AE|=8+1=9，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$=$\frac{|BN|}{|AE|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{9}$=$\frac{1}{6}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．