Question

20．证明：
（1）x＞0时，lnx≤x-1；
（2）x＞1时$\frac{x-1}{lnx}$＞$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=lnx-（x-1），求得导数，判断符号，可得单调性，即可得证；
（2）由（1）可得x＞1时$\frac{x-1}{lnx}$≥1，令$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$=t，则cosx-tsinx=$\sqrt{2}$t，运用辅助角公式和余弦函数的值域即可得证．

解答 证明：（1）设f（x）=lnx-（x-1），
可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，可得f（x）递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，可得f（x）递增．
可得x=1处f（x）取得极大值，且为最大值0，
即有f（x）≤0，即为lnx≤x-1；
（2）由（1）可得x＞1时$\frac{x-1}{lnx}$≥1，
令$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$=t，则cosx-tsinx=$\sqrt{2}$t，
可得$\sqrt{1+{t}^{2}}$cos（x+θ）=$\sqrt{2}$t，
即有$\sqrt{2}$|t|≤$\sqrt{1+{t}^{2}}$，解得-1≤t≤1，
由于等号不同时成立，
则有x＞1时$\frac{x-1}{lnx}$＞$\frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数法，以及不等式的性质，考查导数的运用和辅助角公式，考查运算能力，属于中档题．