Question

3．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面和平面ABCD垂直，G，H分别是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE；
（3）求三棱锥C-ADG的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证GH∥平面CDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GH与平面CDE内一直线平行，而G，H分别是DF，FC的中点，则GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，满足定理所需条件．
（2）欲证BD⊥平面CDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面CDE内两相交直线垂直，根据平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，从而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，满足定理所需条件．
（3）求出点C到平面ADG的距离，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥C-ADG的体积．

解答 证明：（1）∵G，H分别是DF，FC的中点，
∴△FCD中，GH∥CD，
又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE
∴GH∥平面CDE；
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
∵ED⊥AD，ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD，
∴ED⊥BD，
又∵BD⊥CD，CD∩ED=D
∴BD⊥平面CDE；
解：（3）在△BCD中，由已知得$BD=\sqrt{3}$，BC=2．
设Rt△BCD中BC边上的高为h．
依题意：$\frac{1}{2}•2•h=\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}$，解得$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴点C到平面ADG的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又${S_{△AGD}}=\frac{1}{2}•2•1=1$，
∴${V_{C-ADG}}=\frac{1}{3}•{S_{△AGD}}•h=\frac{1}{3}•1•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的计算．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于中档题．