Question

12．设M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）满足a+b+c=1（其中a＞0，b＞0，c＞0），则M的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{8}$）
• B． [$\frac{1}{8}$，1）
• C． [1，8）
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 根据基本不等式得到则$\frac{1}{a}$-1≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$，$\frac{1}{b}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$，$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$继而求出M的范围

解答 解：根据题意，a+b+c=1，则$\frac{1}{a}$-1=$\frac{a+b+c}{a}$-1=$\frac{b+c}{a}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$，
同理$\frac{1}{b}$-1≥$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$，$\frac{1}{c}$-1≥$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$，
则M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．
则（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）有最小值为8，
则M的取值范围是[8，+∞），
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题