Question

19．已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|，现有如下几个命题：
①该函数为偶函数；
②该函数最小正周期为π；
③该函数值域为[1，$\sqrt{2}$]；
④该函数单调递增区间为[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
其中正确命题为①③④．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性、函数的图象的对称性，数形结合可得函数的周期性以及单调性，从而得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=|sinx|+|cosx|为偶函数，故①正确；
画出函数位于y轴右侧的图象，如图所示，
再根据函数f（x）的图象关于y轴对称，
可得函数f（x）在R上的图象，如图所示：
数形结合可得函数的最小正周期为$\frac{π}{2}$，故②不正确，
③正确；
由于在$[0，\frac{π}{2}]$上，$f（x）=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
结合它的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
故该函数单调递增区间为[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z，
故④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．