Question

已知当|x|＜

1

2

时，有

1

1+2x

=1-2x+4x²-…+（-2x）ⁿ+…，根据以上信息，若对任意|x|＜

1

2

，都有

x

(1-x3)(1+2x)

=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…，则a₁₀=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：对照已知，可得当|x|＜

1

2

时，有

1

1-x3

=1+x³+x⁶+x⁹+…+（x³）ⁿ+…，要求a₁₀即为x¹⁰的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案．

解答： 解：∵当|x|＜

1

2

时，有

1

1+2x

=1-2x+4x²-…+（-2x）ⁿ+…，①
∴当|x|＜

1

2

时，有

1

1-x3

=1+x³+x⁶+x⁹+…+（x³）ⁿ+…，②
又对任意|x|＜

1

2

，都有

x

(1-x3)(1+2x)

=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…，
∴a₁₀即为x¹⁰的系数，可取①中的（-2x）⁹，②中的1，或①中（-2x）⁶，②中的x³，
或①中的（-2x）³，②中的x⁶，或①中的1，②中的x⁹，
∴a₁₀=（-2）⁹+（-2）⁶+（-2）³+1=-455，
故答案为：-455．

点评：本题考查类比推理的思想方法，考查形式上的类比，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．