Question

AB为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为

 

；若AB的倾斜角为α，则|AB|=

 

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当|AB|=1时，根据抛物线性质可知x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=|AB|求得x₁+x₂，进而可得AB中点的横坐标；当AB的倾斜角为α，可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα（x-

p

2

）与抛物线方程联立消去y求得x₁+x₂，进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|．

解答：解：抛物线y²=2px，∴焦点为（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①根据抛物线性质可知，x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=|AB|=1
∴x₁+x₂=1-p
∴AB中点的横坐标

x1+x2

2

=

1-p

2

②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα（x-

p

2

）
代入抛物线方程得
tan²αx²-tan²αpx+tan²α

p2

4

=2px
tan²αx²-（tan²αp+2p）x+tan²α

p2

4

=0
所以x₁+x₂=

tan2αp+2p

tan2α

抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x₁，所以A到准线距离=x₁+

p

2

B到准线距离=x₂+

p

2

所以AB=AF+BF=

2p

sin2α

点评：本题主要考查了抛物线的性质．要特别利用好“抛物线的抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离”的性质．