Question

已知B为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准线的垂线，垂足计
为C．连接CO并延长交抛物线于A，（O为原点）
（1）求证AB过定点Q．
（2）若M（1，

P

），试确定B点的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：（1）设B点坐标为（

yB2

2p

，y_B），则C为（-

p

2

，y_B），那么直线CO的方程为y=-

yB

p

x，与抛物线联立，求解，得A点坐标为（

p3

2yB2

，-p2 ×yB ），故直线AB的方程为 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，由此能够求出直线AB过定点Q（

p

2

，0）．
（2）由Q为抛物线焦点，知|BQ|=|BC|，根据三角形两边之和大于第三边，知B点坐标为（

1

2

，

p

）时，|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，由此能求出其最小值．

解答：解：（1）设B点坐标为（

yB2

2p

，y_B），则C为（-

p

2

，y_B）
那么直线CO的方程为y=-

yB

p

x，
与抛物线联立，求解，得A点坐标为（

p3

2yB2

，-p2 ×yB ），
故直线AB的方程为 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，
令x=

p

2

，则y=0，
故直线AB过定点Q（

p

2

，0）．
（2）由（1）得，Q为抛物线焦点，
故|BQ|=|BC|，
根据三角形两边之和大于第三边，从而当y_B=p

1

2

时，即B（

1

2

，

p

）时，
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，
最小值为

p

2

+1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．