Question

已知B为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准线的垂线，垂足计
为C．连接CO并延长交抛物线于A，（O为原点）
（1）求证AB过定点Q．
（2）若M（1，），试确定B点的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设B点坐标为（，y_B），则C为（-，y_B），那么直线CO的方程为y=，与抛物线联立，求解，得A点坐标为（ ），故直线AB的方程为 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，由此能够求出直线AB过定点Q（，0）．
（2）由Q为抛物线焦点，知|BQ|=|BC|，根据三角形两边之和大于第三边，知B点坐标为（）时，|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，由此能求出其最小值．
解答：解：（1）设B点坐标为（，y_B），则C为（-，y_B）
那么直线CO的方程为y=，
与抛物线联立，求解，得A点坐标为（ ），
故直线AB的方程为 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，
令x=，则y=0，
故直线AB过定点Q（，0）．
（2）由（1）得，Q为抛物线焦点，
故|BQ|=|BC|，
根据三角形两边之和大于第三边，从而当y_B= 时，即B（）时，
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，
最小值为+1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．