Question

10．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥|x-1|}\\{y≤-|x|+2}\end{array}\right.$，当且仅当x=0，y=2时，ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是（-1，1），直线ax+y-2=0的倾斜角范围是[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，根据当且仅当x=0，y=2时，ax+y取得最大值求出实数a的取值范围，再由直线的倾斜角与斜率的关系求得线ax+y-2=0的倾斜角范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥|x-1|}\\{y≤-|x|+2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

令z=ax+y，化为y=-ax+z，
∵当且仅当x=0，y=2时，z=ax+y取得最大值，
则-1＜-a＜1，即-1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（-1，1）；
∴直线ax+y-2=0的斜率-a∈（-1，1）．
则直线ax+y-2=0的倾斜角范围是[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．
故答案为：（-1，1）；[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，是中档题．