Question

数列{a_n}满足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1（n=1，2，3，…，）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）若b_n=-（n+1）a_n，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足的条件na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，根据递推可得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，两式相减得到S_n，从而求出a_n的通项公式；
（2）设存在自然数k，使对n∈N，b_n≤b_k恒成立，根据b_n+1-b_n的表达式易得当n＜8时，b_n+1＞b_n，当n=8时，b_n+1=b_n，当n＞8时，b_n+1＜b_n故得解．

解答：解：（1）由na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，
得，（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1两式相减，
得a1+a2+…+an=(

9

10

)n-1=Sn
∴当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

1

10

(

9

10

)n-2
即an=

1        ，n=1 - 1 10 ( 9 10 )n-2，n≥2

（2）由（1）得bn=-(n+1)an=

-2          ，n=1 n+1 10 ( 9 10 )n-2，n≥2

设存在自然数k，使对n∈N，b_n≤c_k恒成立
当n=1时，b2-b1=

23

10

＞0⇒b2＞b1
当n≥2时，bn+1-bn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
∴当n＜8时，b_n+1＞b_n
当n=8时，b_n+1=b_n，当n＞8时，b_n+1＜b_n
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有b₁＜b₂＜…＜b₈=b₉＞b₁₀＞b₁₁＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都b_n≤b_k成立

点评：本题主要考查数列的性质及其应用，同时考查了作差比较法和数列与不等式的综合，以及计算能力，属于中档题．