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    已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的底面是菱形，且∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，AD=1，AA1=a，F为棱BB的中点，M为线段AC的中点．设
    AB
    =
    e1
    ，
    AD
    =
    e2
    ，
    AA1
    =
    e3
    ．试用向量法解下列问题：
    （1）求证：直线MF∥平面ABCD；
    （2）求证：直线MF⊥面A1ACC1；
    （3）是否存在a，使平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是30°？如果存在，求出相应的a 值，如果不存在，请说明理由．（提示：可设出两面的交线）
    分析：（1）由：|
    e1
    |=|
    e2
    |=1，|
    e3
    |=a，
    e 1
    •
    e2
    =
    1
    2
    ，
    e1
    •
    e3
    =
    e2
    •
    e3
    =
    1
    2
    a    ，
    e1
    e3
    =
    e2
    e3
    =
    1
    2
    a    ，
    AC1
    =
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ，
    AM
    =
    1
    2
    （
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ），
    AF
    =
    AB
    +
    BF
    =
    AB
    +
    1
    2
    AA1
    =
    e1
    +
    1
    2
    e3
    ，
    MF
    =
    AF
    -
    AM
    =
    1
    2
    （
    e1
    -
    e2
    ），
    DB
    =
    AB
    -
    AD
    =
    e1
    -
    e2
    =2
    MF
    ，由此能证明直线MF∥平面ABCD．
    （2）由
    MF
    •
    AA1
    =（
    e1
    -
    e2
    ）•
    1
    2
    e3
    =0，
    MF
    •
    AC
    =（
    e1
    -
    e2
    ）（
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ）•
    1
    2
    =0，知MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD内的相交直线，由此能证明直线MF⊥面A1ACC1．
    （3）设平面AFC1与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，故A在直线c上；MF在面AFC1内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，由直线MF⊥面A1ACC1，直线AC和直线AC1在平面A1ACC1内，知平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC由此能推导出不存在这样的a值，使平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是30°．
    解答：（1）证明：|
    e1
    |=|
    e2
    |=1，
    |
    e3
    |=a，
    e 1
    •
    e2
    =
    1
    2
    ，
    e1
    •
    e3
    =
    e2
    •
    e3
    =
    1
    2
    a    ，（2分）
    AC1
    =
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ，
    AM
    =
    1
    2
    （
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ），
    AF
    =
    AB
    +
    BF
    =
    AB
    +
    1
    2
    AA1
    =
    e1
    +
    1
    2
    e3
    ，
    MF
    =
    AF
    -
    AM
    =
    1
    2
    （
    e1
    -
    e2
    ），（3分）
    DB
    =
    AB
    -
    AD
    =
    e1
    -
    e2
    =2
    MF
    ，
    DB在面ABCD内，MF在面ABCD外，
    ∴直线MF∥平面ABCD；（4分）
    （2）证明：
    MF
    •
    AA1
    =（
    e1
    -
    e2
    ）•
    1
    2
    e3
    =0，（5分）
    MF
    •
    AC
    =（
    e1
    -
    e2
    ）•（
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    ）•
    1
    2
    =0，（6分）
    ∴MF⊥AA1，MF⊥AC，AC和AA1是面ABCD内的相交直线，
    ∴直线MF⊥面A1ACC1；（7分）
    （3）解：设平面AFC1与平面ABCD的交线为c，两平面有一个公共点A，
    ∴A在直线c上；MF在面AFC1内，直线MF∥平面ABCD，有MF∥直线c，
    由2）知，直线MF⊥面A1ACC1，直线AC和直线AC1在平面A1ACC1内，
    ∴MF⊥AC1，MF⊥AC，因此，有AC1⊥直线c，AC⊥直线c，
    平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角是∠C1AC，（10分）
    假设存在这样的a，使∠C1AC=30°，
    则cos30°=cos＜
    AC 1
    ，
    AC
    ＞
    =
    AC1
    •
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    		3
    的矩形．
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    AB
    •
    AE
    =
     
    ．

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