Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，底面四边形ABCD的边长均大于2，且∠DAB=45°，点P在底面ABCD内运动且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥P-D₁MN体积的最大值为（　　）

• A．

  1

  3

  （

  2

  -1）
• B．

  1

  3

  （2-

  2

  ）
• C．

  1

  3

  （

  2

  +1）
• D．

  1

  3

  （2+

  2

  ）

Answer 1

分析：画出四棱柱图形，设∠NAP=θ，求出PN，PM，得△PMN的面积，然后求出三棱锥P-D₁MN的体积表达式，得最大值．

解答：解：由题意画出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁如图：
在底面四边形ABCD中，设∠NAP=θ，θ∈[0，45°]，则∠PAM=45°-θ，
所以PN=|PA|sinθ=2sinθ，PM=|PA|sin（45°-θ）=2sin（45°-θ），
所以S_△PMN=

1

2

PN•PMsin135°=

1

2

×2sinθ×2sin（45°-θ）×

2

2

=

2

sinθsin（45°-°θ），
∴三棱锥P-D₁MN的体积为，
V三棱锥P-D1MN═

1

3

Sh=

1

3

×S_△PMN×DD₁=

1

3

×

2

sinθsin（45°-θ）×2=

1

3

×2（sinθcosθ-sin²θ）=

1

3

×（sin2θ+cos2θ-1）=

2

3

×sin（2θ+45°）-

1

3

，
因为θ∈[0，45°]，所以当θ=22.5°时V三棱锥P-D1MN取得最大值为：

2

3

-

1

3

．
故选：A．

点评：本题考查了空间中的位置关系以及锥体体积的计算问题，是基础题．