Question

13．在△ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{b}$，
（1）求B；
（2）若b=2，△ABC的周长为2$\sqrt{3}$+2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得tanB，即可得出；
（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{b}$=$\frac{sinB}{b}$，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
即a²+c²-ac=4，
又b=2，△ABC的周长为2$\sqrt{3}$+2，
∴a+c+b=2$\sqrt{3}$+2，
即a+c=2$\sqrt{3}$，
∴ac=$\frac{8}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．