Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数有两个极值点（），若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）．

【解析】

（1）求出导函数，令，利用判别式讨论的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解.

（2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，由（1）知，利用韦达定理得，且，然后分离参数只需恒成立，，从而令，利用导数求出的最小值即可求解.

（1）因为，

所以．

令，，

当即时，，即，

所以函数单调递增区间为．

当即或时，．

若，则，所以，即，

所以函数单调递增区间为．

若，则，由，即得或；

由，即得．

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．

综上，当时，函数单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）得，

若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，

由（1）知．则，故，

要使恒成立，只需恒成立．

因为

令，则，

当时，，为减函数，所以．

由题意，要使恒成立，只需满足．

所以实数的取值范围．