Question

【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于不同的两点，.

（1）求抛物线的方程；

（2）是否存在与的取值无关的定点，使得直线，的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点到准线的距离为2即可求出，最后根据即可求出抛物线方程；

（2）本题首先可设出、、，然后联立方程并通过韦达定理得出，再然后对进行化简并根据为与无关的常数得出，最后通过计算即可得出结果.

（1）由题意得，准线方程：，所以，抛物线方程为.

（2）假设存在定点满足题意，设，，，

联立方程，消去得，由韦达定理得，

因为直线、的斜率为、，

所以

.

要使为与无关的常数，只能，解得，，

此时为常数，

综上所述，存在定点，使得直线、的斜率之和恒为定值0.