Question

【题目】已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点.

（1）以为直径的圆与轴交两点，若，求；

（2）点在上，过点且垂直于轴的直线与分别相交于两点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，设的中点为，在上的射影分别为，根据抛物线的性质得出，得出到轴的距离，最后利用直线与圆的弦长公式得出，代入数据即可得出结果；

（2）设直线，联立直线和抛物线方程，求出韦达定理，求出直线的方程，从而分别求出两点的坐标，将证明转化为证明成立即可，结合韦达定理即可证出.

解：（1）由题可知，，以为直径的圆的半径为5，

设的中点为，即圆心为，在上的射影分别为，

则，

所以到轴的距离，

故.

（2）当直线斜率为0时，不满足题意；

则直线斜率不为0，设直线，

设，，

由得，

所以 ，

直线，

令，得，

即，

同理可得：，

要证，即证，

又，

即证，

即证，

即证，

即证（※），

又因为

所以（※）式显然成立，故，命题得证.