Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y，f（y²-8y）+f（x²-6x+21）＜0恒成立，则当2x-y-2＞0时，x²+y²的取值范围是（　　）

• A、（3，7）
• B、（

  13

  ，7）
• C、（13，49）
• D、（9，49）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,直线与圆

分析：由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于圆的有关知识可求．

解答： 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
设M （x，y），则2x-y-2＞0时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
如图示：

则x²+y²表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方
结合圆的知识可知9＜x²+y²＜49
故选：D．

点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．