Question

15．已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，若a₁=-$\frac{1}{2}$，且2S₃=S₁+S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q）化简可得公比q=-$\frac{1}{2}$，进而可得结论；
（2）通过a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$可知b_n=n•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵2S₃=S₁+S₂，
∴$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），
化简得：2q²+q=0，
∴q=-$\frac{1}{2}$或q=0（舍），
又a₁=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$；
（2）∵a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•（-2）ⁿ•n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．