Question

5．函数f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x，若同时满足条件：
①?x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点．
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是什么？为什么？

Answer 1

分析 求导数，由①得到不等式组；由②?x∈（8，+∞），f（x）＞0，只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，分别解出不等式即可得到实数a的取值范围即可．

解答 解：由于f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{{x}^{2}}$e^x，
令f′（x）=0，则x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
故函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上递增，在（x₁，x₂）上递减，
由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，
故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
当x₂＞8，即a＞$\frac{64}{7}$时，
函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为f（x₂）=（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）${e}^{{x}_{2}}$＞0，此时无解；
当x₂≤8，即a≤$\frac{64}{7}$时，
函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为f（8）=（1-$\frac{a}{8}$）e⁸≥0，解得a≤8，
又由?x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞0}\\{f（0）＞0}\\{△{=a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a＞4；
故实数a的取值范围为4＜a≤8．

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件，属于中档题．