Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意正整数n均有成立，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
∵a₁=1，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=a₂=1+2=3，
b₃=a₅=1+8=9，
∴，
∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3^n-1（5分）
（2）当n=1时，c₁=2a₂×b₁=18；
当n≥2时，=4n+1，
∴c_n=（4n+1）•3^n-1，故，
∴S_n=c₁+c₂．+…+c_n=18+9×3+13×3²+17×3³+…+（4n-3）×3^n-2+（4n+1）×3^n-1，①
3S_n=54+9×3²+13×3³+17×3⁴…+（4n-3）×3^n-1+（4n+1）×3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=-9+4（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（4n+1）×3ⁿ
=-（4n+1）×3ⁿ
=-9+2×3ⁿ-18-（4n+1）×3ⁿ
=-27+（1-4n）×3ⁿ，
∴．
分析：（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{a_n}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）利用数列的第n项等于前n项和减去前n-1项的和求出 ，进一步求出c_n，利用错位相减法求和．
点评：求数列的前n项和，关键先求出数列的通项，判断出通项的特点，再选择合适的求和方法．