Question

8．设函数f（x）为定义在R奇函数，当x＞0时，f（x）=-2x²+4x+1，
（1）求：当x＜0时，f（x）的表达式；
（2）用分段函数写出f（x）的表达式；
（3）若函数h（x）=f（x）-a恰有三个零点，求a的取值范围（只要求写出结果）．

Answer 1

分析 （1）设x＜0则-x＞0，根据题意和奇函数的性质求出当x＜0时，f（x）的表达式；
（2）由奇函数的性质求出f（0）=0，由（1）和分段函数表示出f（x）；
（3）利用配方法化简x＞0时的f（x），由（2）和二次函数的图象画出f（x）的图象，根据函数零点的几何意义和图象，求出满足题意的a的取值范围．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=-2x²+4x+1，
∴f（-x）=-2x²-4x+1，
∵f（x）为定义在R上是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=2x²+4x-1，…（6分）
（2）∵f（x）为定义在R上是奇函数，
∴f（0）=-f（-0），则f（0）=0，
由（1）可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+4x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2{x}^{2}+4x-1，x＜0}\end{array}\right.$…（10分）
（3）由函数h（x）=f（x）-a=0得，f（x）=a，
由条件得，当x＞0时，
f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，
由（2）画出函数f（x）和y=a的图象，如图所示：
∵函数h（x）=f（x）-a恰有三个零点，
∴由图得，-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3，
∴a的取值范围是
{a|-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3}…（12分）

点评 本题考查了函数奇偶性的性质的应用：函数的解析式，函数零点的转化，考查了数形结合思想和转化思想．