Question

（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个

π

6

单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（

π

4

）、F（-

π

4

），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；
（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；

解答：解：（1）f（x）=2sinx，
F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）=2sinx+2sin（x+

π

2

）=2（sinx+cosx），
F（

π

4

）=2

2

，F（-

π

4

）=0，F（-

π

4

）≠F（

π

4

），F（-

π

4

）≠-F（

π

4

），
所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+

π

6

）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+

5

12

π或x=kπ+

3

4

π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键