Question

3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成公比大于1等比数列，且sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的值；
（2）设$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）求出cosB=$\frac{3}{4}$，利用余弦定理可得a=$\frac{c}{2}$，进而求出cosA=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，sinA=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，即可求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的值；
（2）设$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，可得c，a，即可求a+c的值．

解答 解：（1）由题意，0＜B＜$\frac{π}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cosB=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{c}{2}$或a=2c（舍去），
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
∴cosA=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，sinA=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$；
（2）$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=c•a•cosB=c•$\frac{c}{2}$$•\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，∴c=2，a=1，
∴a+c=3．

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数求值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．