Question

18．有界函数f：Z→Z，并且有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），求f（n）．

Answer 1

分析 由已知中f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），联想到和差角的余弦公式满足：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，可知f（x）为余弦型函数，进而根据函数的定义域和值域均为整数，可得答案．

解答 解：∵f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n），
联想到和差角的余弦公式满足：
cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，
且f：Z→Z，及定义域和值域均为整数，
故设f（x）=cos$\frac{π}{2}$x，
则f（n）=cos$\frac{nπ}{2}$，（n∈Z）满足条件．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，符合本题的函数比较多，如常数函数，余弦型函数，只要找到满足条件的一个函数即可．