Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=6cosC，求$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$．

Answer 1

分析 由余弦定理及已知可得$\frac{{c}^{2}}{ab}$=4cosC，利用三角函数恒等变换化简所求可得$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$=$\frac{4cosC}{cosC}$=4．

解答 解：∵$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=6cosC，
∵根据余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²=c²+2abcosC，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{{c}^{2}+2abcosC}{ab}$=6cosC，
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}+2cosC=6cosC$，
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}$=4cosC，
∴$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=tanC（$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$）=$\frac{sinC}{cosC}$（$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$）=$\frac{sinC（cosAsinB+cosBsinA）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{sinCsin（A+B）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$=$\frac{4cosC}{cosC}$=4．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，余弦定理及两角和与差的三角函数公式的应用，属于基本知识的考查．