Question

8．已知函数f（x）=（x²-4）（x-a），a∈R，且f′（-1）=0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则可得f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．再利用f′（-1）=0，即可解得a．然后根据函数单调性和导数之间的关系进行求解和判断即可．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+2$．x∈[-2，2]．令f′（x）=0，解得x=-1，$\frac{4}{3}$．列出表格，利用导数研究函数的单调性极值与区间端点出的函数值，即可得出最值．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），
∴f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f′（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$；
则$f（x）=（{x}^{2}-4）（x-\frac{1}{2}）$=x³-$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+2$．x∈[-2，2]．
f′（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，$\frac{4}{3}$．
由f′（x）＞0得x＞$\frac{4}{3}$或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-1＜x＜$\frac{4}{3}$．此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为（-∞，-1]，[$\frac{4}{3}$，+∞），单调递减区间为[-1，$\frac{4}{3}$]．
（2）当-2≤x≤2时，函数f（x）与f′（x）的变化如图下表：

x	[-2，-1）	-1	$（-1，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，2]$
f′（x）	+	0	-	0
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=$\frac{9}{2}$；
当x=$\frac{4}{3}$时，函数f（x）取得极小值，$f（\frac{4}{3}）$=$-\frac{50}{27}$；
又f（-2）=0，f（2）=0．
可知：函数f（x）的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为$-\frac{50}{27}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性单调性，极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．