Question

17．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x²-x+m）．若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．

Answer 1

分析 由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[-3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x²-x+m＞0恒成立，且2x²-x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．

解答 解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（-3）=f（3），且f（-3）=-f（3），则f（-3）=f（3）=0，
即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[-3，3]上的零点个数为5，
且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x²-x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x²-x+m＞0恒成立，且2x²-x+m=1在（0，3）有一解，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-8m＜0}\\{2•（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+m=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-8m＜0}\\{m≤1}\\{2•{3}^{2}-3+m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．
故答案为：$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．

点评 本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．