Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-x$（a∈R），若y=f（x）在区间[-2，-1]上是单调减函数，则实数a的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）在区间[-2，-1]上是单调减函数，
∴f′（x）≤0在区间[-2，-1]上恒成立，
即f′（x）=x²+2ax-1≤0，
即2ax≤1-x²，
即2a≥$\frac{1}{x}$-x，
设g（x）=$\frac{1}{x}$-x，
则g（x）在[-2，-1]上为减函数，
则函数的最大值为g（-2）=$-\frac{1}{2}$-（-2）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则2a≥$\frac{3}{2}$，得a≥$\frac{3}{4}$，
即实数a的取值范围是$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，结合参数分离法转化为求函数的最值是解决本题的关键．