Question

12．（理科做）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠BAC=$\frac{π}{2}$，PA=AB=AC，E，F分别为棱PB，PC的中点，则异面直线AF与CE所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与CE所成的角的余弦值．

解答 解：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=$\frac{π}{2}$，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=AC=2，
∵E，F分别为棱PB，PC的中点，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），E（1，0，1），
C（0，2，0），F（0，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CE}$=（1，-2，1），
设异面直线AF与CE所成的角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线AF与CE所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．