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如果函数f(x)在x=x0处取得极值,则点(x0,f(x0))称为函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R)的一个极值点恰为坐标系原点,且y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-1=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-2,2]上的值域.
分析:(1)由f(x)的极值点为原点得f(0)=0、f′(0)=0,可求d、c值,根据f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-1=0可得f(1)=-2,f′(1)=-3,联立可解得a、b;
(2)利用导数求出f(x)在[-2,2]上的极值、函数在区间端点处的函数值,其中最大者为最大值,最小者为最小值,由此可得值域;
解答:解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由f(0)=0,得d=0,
f′(0)=0,解得c=0,
又y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-1=0,
所以f(1)=-2,即a+b=-2①,f′(1)=-3,即3a+2b=-3②,联立①②解得a=1,b=-3,
所以f(x)=x3-3x2
(2)f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0,解得x=0,2,
令f′(x)>0,得x<0或x>2,所以f(x)在[-2,0]内递增,
令f′(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)在[0,2]内递减,
所以f(x)max=f(0)=0,f(-2)=-20,f(2)=-4,所以f(x)min═-20,
故函数f(x)在[-2,2]上的值域为[-20,0].
点评:本题考查利用导数研究函数的极值、最值及函数在某点处的切线方程,属中档题.
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如果函数f(x)在区间D上有定义,且对任意x1,x2∈D,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)在区间D上的“凹函数”.
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f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)”成立.利用这个性质证明x0唯一;
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①f(x)=|x|;②f(x)=
2
(x-1)2+3
;③f(x)=(
1
2
)x-2
;④f(x)=log
1
2
(x+1)
  ⑤f(x)=
1
x-1

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