Question

如果函数f（x）在x=x₀处取得极值，则点（x₀，f（x₀））称为函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一个极值点恰为坐标系原点，且y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（0）=0，得d=0，
f′（0）=0，解得c=0，
又y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-1=0，
所以f（1）=-2，即a+b=-2①，f′（1）=-3，即3a+2b=-3②，联立①②解得a=1，b=-3，
所以f（x）=x³-3x²；
（2）f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）=0，解得x=0，2，
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，所以f（x）在[-2，0]内递增，
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在[0，2]内递减，
所以f（x）_max=f（0）=0，f（-2）=-20，f（2）=-4，所以f（x）_min═-20，
故函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-20，0]．
分析：（1）由f（x）的极值点为原点得f（0）=0、f′（0）=0，可求d、c值，根据f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-1=0可得f（1）=-2，f′（1）=-3，联立可解得a、b；
（2）利用导数求出f（x）在[-2，2]上的极值、函数在区间端点处的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值，由此可得值域；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值及函数在某点处的切线方程，属中档题．