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已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为
3
,则椭圆的方程为(  )
A、
x2
12
+
y2
9
=1
B、
x2
9
+
y2
12
=1
x2
12
+
y2
3
=1
C、
x2
12
+
y2
3
=1
D、
x2
12
+
y2
9
=1
x2
9
+
y2
12
=1
分析:根据题意,在正三角形中得到基本量a,b,c之间的关系,结合焦点到椭圆上的点的最短距离为a-c,故可求得基本量a,b的值,因为不能确定焦点的位置,故标准方程有两个.
解答:解:根据短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形,
则有b=
3
2
a
,c=
1
2
a

又∵焦点到椭圆上的点的最短距离为
3

∴a-c=
3

故a=2
3
,则b=3,
∴椭圆的方程为
x2
12
+
y2
9
=1或
x2
9
+
y2
12
=1

故选:D.
点评:本题考查了椭圆的标准方程的求解.求椭圆标准方程要注意以下一个步骤:(1)先确定焦点的位置,确定标准方程的形式,(2)确定基本量a,b,c的值,(3)写出标准方程.解题时要注意根据题意能否确定焦点的位置,如果不能确定一般分类讨论.属于中档题.
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23
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