Question

在平面直角坐标系xOy中，过点P（-4，0）作直线交椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）于A，B两点，设点B关于x轴的对称点为B′，点F（-1，0）为椭圆C的左焦点，且

PB

=λ

PA

（λ＞1）．
（1）求实数a的值；
（2）若λ=2，求线段BB′的长；
（3）证明：

B′F

=λ

FA

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点坐标可知c=1，又c²=a²-b²，b²=3，可求a；
（2）当λ=2时，由

PB

=2

PA

，知A为PB的中点，设A（x₀，y₀），则B（2x₀+4，2y₀），分别爱人椭圆方程可得方程组，解出y₀即得；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则B′（x₂，-y₂），由

PB

=λ

PA

可得x₂+4=λ（x₁+4），y₂=λy₁①，而

x12 4 + y12 3 =1② x22 4 + y22 3 =1③

，③-②×λ²得

(x2-λx1)(x2+λx1)

4

+

y22-λ2y12

3

=1-λ²④，①代入④得-1-x₂-λ（x₁+1）=0，可证明

B′F

-λ

FA

=（0，0）．

解答： 解：（1）依题意，c=1，
又c²=a²-b²，其中b²=3，
∴a=2．
（2）当λ=2时，

PB

=2

PA

，即A为PB的中点，
设A（x₀，y₀），则B（2x₀+4，2y₀），
此时

x02

4

+

y02

3

=1，且

(2x0+4)2

4

+

(2y0)2

3

=1，
解得x0=-

7

4

，y0=±

3 5

8

，
∴线段BB′的长为

3 5

4

；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则B′（x₂，-y₂），
由

PB

=λ

PA

得（x₂+4，y₂）=λ（x₁+4，y₁），则x₂+4=λ（x₁+4），y₂=λy₁，①
又

x12 4 + y12 3 =1② x22 4 + y22 3 =1③

，
③-②×λ²得

(x2-λx1)(x2+λx1)

4

+

y22-λ2y12

3

=1-λ²，④
将①代入④得-1-x₂-λ（x₁+1）=0，
则

B′F

-λ

FA

=（-1-x₂-λ（x₁+1），y₂-λy₁）=（0，0），即证明

B′F

=λ

FA

．

点评：本题考查椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、平面向量的运算等知识，考查方程思想，考查学生的推理论证与运算能力．