Question

观察下列不等式：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…
照此规律，写出第n个不等式，然后判断这个不等式是否成立并给出证明．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型

分析：根据已知中，

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…可猜想第n个不等式为

2

3

＜

2+n

3+n

，进而利用作差法，进行证明．

解答： 解：根据已知中，

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，
…
可猜想第n个不等式为

2

3

＜

2+n

3+n

，
证明如下：
∵n∈N^*，
∴n＞0且3+n＞0，
∴

2+n

3+n

-

2

3

=

3(2+n)-2(3+n)

3(3+n)

=

n

3(3+n)

＞0，即

2

3

＜

2+n

3+n

．

点评：此题主要考查了归纳推理，不等式证明，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．