Question

数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=5，且a_n=S_n-1（n=2，3，4，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

5

•．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=S_n-1，取n=n+1得到a_n+1=S_n，两式作差后得到数列{a_n}从第二项起构成等比数列，求出其通项公式后验证首项得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，利用分组求和然后放缩即可得到答案．

解答： （1）解：依题意得

an+1=Sn an=Sn-1，(n=2，3，4，…)

两式相减得：
a_n+1-a_n=a_n，即

an+1

an

=2（n=2，3，4，…）．
∴a₂，a₃，a₄，…构成首项为a₂，公比为2的等比数列．
∵a₂=S₁=a₁=5，
∴a_n=5•2^n-2（n≥2）．
∴an=

5，          (n=1) 5•2n-2.    (n=2，3，4，…)

；
（2）证明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

5

+

1

5

+

1

5•2

+

1

5•22

+…+

1

5•2n-2

=

1

5

+

1

5

(1+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-2

)=

1

5

+

1

5

•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=

1

5

+

2

5

[1-(

1

2

)n-1]＜

1

5

+

2

5

=

3

5

．

点评：本题考查了数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了分组求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，是中高档题．