Question

在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），记η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），若η＜0，则称点P₁，P₂被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P₁、P₂被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（-1，0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x²-4y²=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,真题集萃

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），再根据η＜0，得出结论．
（2）联立直线y=kx与曲线x²-4y²=1可得 （1-4k²）x²=1，根据此方程无解，可得1-4k²≤0，从而求得k的范围．
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x²+（y-2）²]x²=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P₁、P₂的坐标代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一条分隔线．

解答： （1）证明：把点（1，2）、（-1，0）分别代入x+y-1 可得（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴点（1，2）、（-1，0）被直线 x+y-1=0分隔．
（2）解：联立直线y=kx与曲线x²-4y²=1可得 （1-4k²）x²=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k²≤0，
∴k≤-

1

2

，或 k≥

1

2

．
（3）证明：设点M（x，y），则

x2+(y-2)2

•|x|=1，故曲线E的方程为[x²+（y-2）²]x²=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P₁（1，2）、P₂（-1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（-1）=-1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x²+（y-2）²]x²=1，可得[x²+（kx-2）²]x²=1，
令f（x）=[x²+（kx-2）²]x²-1，
∵f（0）f（2）＜0，
∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

点评：本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．