Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=2AB，且点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PB₁A⊥平面PAC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD交AC于点O，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，可知四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又点P是DD₁的中点，进而可知PO∥BD₁，利用线面平行的判定定理推断出直线BD₁∥平面PAC；      
（2）连结B₁O，设AA₁=2AB=2a，在三角形PB₁O中，分别求得B₁P²，B₁O²，PO²，进而可知PO²+B₁P²=B₁O²，即PB₁⊥PO，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，推断出AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的性质知AC⊥BB₁，推断出AC⊥平面BD₁D，可知B₁P⊥AC，利用线面垂直的判定定理推断出B₁P⊥平面PAC，最后根据面面垂直的判定定理推断出平面PB₁A⊥平面PAC．

解答： 证明：（1）连结BD交AC于点O，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，
所以四边形ABCD是正方形，所以E是BD的中点，
又点P是DD₁的中点，
所以PO∥BD₁，
而BD₁?平面PAC，PO?平面PAC，
所以直线BD₁∥平面PAC；      
（2）连结B₁O，设AA₁=2AB=2a，
在三角形PB₁O中，B₁P₂=3a²，B₁O²=

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a²，
所以PO²+B₁P²=B₁O²，
所以PB₁⊥PO，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，所以AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，
而AC?平面ABCD，所以AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，所以AC⊥平面BD₁D，
因B₁P?平面BD₁D，所以B₁P⊥AC，
又PO∩AC=O，
所以B₁P⊥平面PAC，
又PB₁?PB₁A，
所以平面PB₁A⊥平面PAC．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用，线面平行的判定定理的应用．要求学生能对基础的定理能熟练记忆．