Question

在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AD=AB=1，BC=

2

（Ⅰ）求异面直线AD与SC所成角的大小；
（Ⅱ）求直线SC与平面SBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出异面直线AD与SC所成的角就是BC与SC所成的角（或其补角），由此能求出异面直线AD与SC所成角的大小．
（Ⅱ）设C到平面SBD的距离为h，由V_C-SBD=V_S-BCD，得h=

S△BCD•SA

S△SBD

=

6

3

，由此能求出直线SC与平面SBD所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴异面直线AD与SC所成的角就是BC与SC所成的角（或其补角）．
连结AC，BD…（3分）
由已知有SB²=SA²+AB²=2，AC²=AB²+BC²=3，SC²=SA²+AC²=4
∴SC²=SB²+BC²，∴△SBC是等腰直角三角形，∴∠SCB=45°，
∴异面直线AD与SC所成角为45°．…（6分）
（Ⅱ）由题意知SD=SB=BD=

2

，
∴S△SBD=

1

2

×

2

×(

3

2

×

2

)=

3

2

，
直角梯形ABCD中，
S△BCD=

1

2

×

2

×1=

2

2

，…（8分）
设C到平面SBD的距离为h，
由V_C-SBD=V_S-BCD，得h=

S△BCD•SA

S△SBD

=

6

3

，…（10分）
由（Ⅰ）知SC=2，
设SC与平面SBD所成角为θ，则有sinθ=

h

SC

=

6

6

，
∴直线SC与平面SBD所成角的正弦值

6

6

．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．