Question

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量

A1An+1

与向量

BnCn

共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上．
（1）试用a₁，b₁与n来表示a_n；
（2）设a₁=a，b₁=-a，且12＜a≤15，求数{a_n}中的最小值的项．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：综合题,等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）由点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，得

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即bn+1-bn=6，由此可求得b_n，由向量

A1An+1

与向量

BnCn

共线，得a_n+1-a_n=b_n，利用累加法可表示a_n；
（2）代入a₁=a，b₁=-a，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a．根据二次函数的性质及对称轴范围可求得结果；

解答： 解：（1）∵点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即bn+1-bn=6，
于是数列{b_n}是等差数列，故b_n=b₁+6（n-1）．
∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，又

AnAn+1

与

BnCn

共线，
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，即a_n+1-a_n=b_n，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2），
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）．
（2）把a₁=a，b₁=-a代入上式，
得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a．
∵12＜a≤15，∴

7

2

＜

9+a

6

≤4，
∴当n=4时，a_n取最小值，最小值为a₄=18-2a．

点评：本题考查平面向量共线的条件、向量的数量积运算、等差数列的通项公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．