Question

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＜b，求证：

a+x

b+x

＞

a

b

；
（2）证明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

Answer 1

考点：不等式的证明,正弦定理

专题：选作题,不等式

分析：（1）充分利用a＞b这个条件，作差，结合不等式的基本性质即可证得；
（2）应用第（1）小题结论，取倒数，得

b

a

＜

b+x

a+x

＜1由正弦定理，原题?△ABC中，求证：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2利用放缩法进行证明即可．

解答： 证明：（1）

a+x

b+x

-

a

b

=

(b-a)x

b(b+x)

，
∵a，b，x均是正数，且a＜b，
∴

(b-a)x

b(b+x)

＞0，
∴

a+x

b+x

＞

a

b

；
（2）应用第（1）小题结论，取倒数，得

b

a

＜

b+x

a+x

＜1
由正弦定理，原题?△ABC中，求证：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2．
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，
∴

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

点评：本题主要考查了不等式的证明、放缩法和类比思想，在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．