Question

设递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项．
（l）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

an2+24n-25

，求数列{b_n}的前100项和T₁₀₀．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用错位相减求和法能求出数列{b_n}的前100项和T₁₀₀．

解答： 解：（1）在递增等差数列{a_n}中，
设公差为d＞0，
∵a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中项，
∴

a42=a3×a1 a3=1

，
∴

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，
解得

a1=-3 d=2

，
∴a_n=-3+（n-1）×2=2n-5．（4分）
（2）∵b_n=

1

an2+24n-25

，a_n=2n-5．
∴bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T₁₀₀=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

100

-

1

101

）
=

1

4

(1-

1

101

)=

25

101

．（8分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．