Question

已知圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1
（1）求过点P（2，4）所作的圆C₁的切线方程；
（2）若圆C₁与圆C₂：（x+1）²+（y-1）²=4相交于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）当斜率存在时，用点斜式设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得k的值，可得切线方程．当斜率不存在时，易得切线方程，从而得出结论．
（2）把两个圆的方程相减可得直线AB方程，求出圆心C₁（1，2）到直线AB距离d，利用弦长公式求得|AB|的值

解答： 解：（1）当斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x-2）即kx-y+4-2k=0，
于是

|k-2+4-2k|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，切线方程为3x-4y+10=0．
当斜率不存在时，得切线方程为x=2，
综上，切线方程为3x-4y+10=0或x=2．
（2）把两个圆的方程相减可得直线AB方程：2x+y-3=0，
则圆心C₁（1，2）到直线AB距离d=

|2+2-3|

5

=

5

5

，
故|AB|=2

1-( 5 5 )2

=

4 5

5

．

点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．