Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=

2

，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求点B₁到平面ABC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）分别求得tan∠ABD和tan∠AB₁B，知∠AB₁B=∠ABD，进而根据∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，推断出∠BAB₁+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB₁，
由OC⊥侧面ABB₁A₁，推断出OC⊥AB₁，进而根据线面垂直的判定定理推断出AB₁⊥平面BCD，进而可知BC⊥AB₁．
（2）利用射影定理求得AO，则OC可知，进而可求得三棱锥C-ABB₁的体积．利用勾股定理分别求得AC，BC的值，进而求得三角形ABC的面积，利用等体积法求得点B₁到平面ABC的距离．

解答： （1）证明：∵侧面ABB₁A₁为矩形，D为AA₁的中点，AB=1，AA₁=

2

，AD=

2

2

，
∴在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

2

2

，
在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=

AB

BB1

=

2

2

，
∴∠AB₁B=∠ABD，
∵∠BAB₁+∠AB₁B=90°，
∴∠BAB₁+∠ABD=90°，
∴∠BAB₁+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB₁，
∵OC⊥侧面ABB₁A₁，
∴OC⊥AB₁，
∵OC∩BD=O，OC?平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB₁⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，
∴BC⊥AB₁．
（2）解：∵在Rt△ABB₁中，BO⊥AB，
∴AB²=AO•AB₁，
∴A0=

AB2

AB1

=

1

3

=

3

3

，
∵OC=OA，
∴OC=

3

3

，
S_△ABB1=

1

2

•AB•BB₁=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
∴V_C-ABB1=

1

3

OC•S_△ABB1=

1

3

×

3

3

×

2

2

=

6

18

，
∵OC=OA=

3

3

，
∴AC=

OC2+OA2

=

6

3

，OB=

AB2-OA2

=

6

3

，
BC=

OB2+OC2

=1，
∴S_△ABC=

6

3

×

30

6

×

1

2

=

5

6

，
设B₁到平面ABC的距离为d，
则V_B1-ABC=

1

3

•d•S_△ABC=

5

18

•d=V_C-ABB1=

6

18

，
∴d=

30

5

，即B₁到平面ABC的距离为

30

5

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，点到面的距离的计算．在立体几何中等体积法是求点到面的距离的一个常用方法．