Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（　　）

A．a

B．b

C．ea

D．eb

Answer 1

分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|AF₁|-|AF₂|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答：解：由题意知：F₁（-c，0）、F₂（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（x-c）|=2a
∴x=a．
在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a．
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用三角形内心的性质．